MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=an2+1n2a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + \frac{1}{n^2}} pentru n≥1n \ge 1. Arătați că șirul este crescător și calculați lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n, folosind inducția și proprietăți ale seriilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Se demonstrează prin inducție că an>0a_n > 0 pentru orice nn și că șirul este crescător (adică an+1>ana_{n+1} > a_n), folosind inegalitatea an2+1n2>an\sqrt{a_n^2 + \frac{1}{n^2}} > a_n.\n
26 puncte
Se scrie ana_n sub forma an=1+∑k=1n−11k2a_n = \sqrt{1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2}}, dedusă din relația de recurență. Se folosește faptul că seria ∑k=1∞1k2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} este convergentă (cu suma π26\frac{\pi^2}{6}), deci lim⁡n→∞an=1+π26\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{1 + \frac{\pi^2}{6}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.