MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Suma primilor nn termeni ai unei progresii aritmetice este Sn=3n2+nS_n = 3n^2 + n. Determinați primul termen și rația progresiei. Apoi, considerați un șir (bn)(b_n) unde bn=1anb_n = \frac{1}{a_n} cu ana_n termenul general al progresiei aritmetice. Studiați convergența șirului (bn)(b_n).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem formula sumei pentru progresia aritmetică: Sn=n2(2a1+(n−1)r)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r). Egalăm cu 3n2+n3n^2 + n și identificăm coeficienții.
23 puncte
Obținem ecuațiile: n2(2a1+(n−1)r)=3n2+n\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r) = 3n^2 + n. Comparând termenii, găsim a1=2a_1 = 2 și r=6r = 6.
32 puncte
Termenul general este an=a1+(n−1)r=2+6(n−1)=6n−4a_n = a_1 + (n-1)r = 2 + 6(n-1) = 6n - 4.
42 puncte
Pentru șirul (bn)=1an=16n−4(b_n) = \frac{1}{a_n} = \frac{1}{6n-4}. Studiem convergența: lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞16n−4=0\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6n-4} = 0, deci șirul este convergent la 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.