MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin a1=5a_1 = 5 și an+1=2an−3a_{n+1} = 2a_n - 3 pentru n≥1n \ge 1. a) Arătați că șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \ge 1} cu bn=an−3b_n = a_n - 3 este o progresie geometrică. b) Determinați termenul general ana_n. c) Calculați suma Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează bn+1=an+1−3=(2an−3)−3=2(an−3)=2bnb_{n+1} = a_{n+1} - 3 = (2a_n - 3) - 3 = 2(a_n - 3) = 2b_n, deci (bn)(b_n) este progresie geometrică cu rația 22 și b1=a1−3=2b_1 = a_1 - 3 = 2.
23 puncte
Termenul general al progresiei geometrice este bn=b1⋅2n−1=2⋅2n−1=2nb_n = b_1 \cdot 2^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n, deci an=bn+3=2n+3a_n = b_n + 3 = 2^n + 3.
34 puncte
Suma Sn=∑k=1nak=∑k=1n(2k+3)=∑k=1n2k+3n=2n+1−2+3nS_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k + 3) = \sum_{k=1}^{n} 2^k + 3n = 2^{n+1} - 2 + 3n.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.