MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiMonotonie și convexitate
Fie șirul (xn)(x_n) definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru n≥1n \geq 1. a) Demonstrați că șirul (xn)(x_n) este mărginit și monoton. b) Determinați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n. c) Dacă yn=log⁡2(xn)y_n = \log_2(x_n), găsiți lim⁡n→∞yn\lim_{n \to \infty} y_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se arată prin inducție că pentru orice nn, xn≥1x_n \geq 1. Presupunând xn≥1x_n \geq 1, atunci xn+1=2+xn≥3>1x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} \geq \sqrt{3} > 1. Pentru monotonie, se compară xn+1x_{n+1} și xnx_n: xn+1−xn=2+xn−xnx_{n+1} - x_n = \sqrt{2 + x_n} - x_n. Se consideră funcția f(x)=2+x−xf(x) = \sqrt{2+x} - x pe [1,∞)[1, \infty); f′(x)=122+x−1<0f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2+x}} - 1 < 0 pentru x>−2x > -2, deci ff este descrescătoare și f(2)=0f(2)=0. Cum x1=1<2x_1=1<2, prin inducție se demonstrează că xn<2x_n < 2 și xn+1≥xnx_{n+1} \geq x_n, deci șirul este crescător și mărginit superior de 2.
23 puncte
Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din recurență, trecând la limită, L=2+LL = \sqrt{2 + L}, deci L2=2+LL^2 = 2 + L, adică L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0. Ecuația are soluțiile L=2L=2 și L=−1L=-1. Cum xn>0x_n > 0 pentru toți nn, limita este L=2L=2.
33 puncte
lim⁡n→∞yn=lim⁡n→∞log⁡2(xn)=log⁡2(lim⁡n→∞xn)=log⁡2(2)=1\lim_{n \to \infty} y_n = \lim_{n \to \infty} \log_2(x_n) = \log_2(\lim_{n \to \infty} x_n) = \log_2(2) = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.