MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematică
Fie șirul (an)(a_n) definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an<2a_n < 2 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Apoi, determinați limita șirului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Baza de inducție: a1=1<2a_1 = 1 < 2.
24 puncte
Pasul inductiv: presupuneți că ak<2a_k < 2 pentru un k≥1k \geq 1; atunci ak+1=2+ak<2+2=2a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k} < \sqrt{2 + 2} = 2, deci ak+1<2a_{k+1} < 2.
32 puncte
Șirul este crescător (se poate verifica ușor) și mărginit superior, deci convergent. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Din recurență, L=2+LL = \sqrt{2 + L}; ridicați la pătrat: L2=L+2L^2 = L + 2, deci L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0 cu soluțiile L=2L = 2 și L=−1L = -1; cum an>0a_n > 0, limita este L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.