MediuȘiruri de numere realeClasa 12

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Fie șirul (In)n≥0(I_n)_{n \geq 0} definit prin In=∫01xnexdxI_n = \int_0^1 x^n e^x dx. Demonstrați că pentru orice n≥1n \geq 1, are loc relația In=e−nIn−1I_n = e - n I_{n-1} și calculați lim⁡n→∞In\lim_{n \to \infty} I_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Integrați prin părți: In=∫01xnexdx=[xnex]01−n∫01xn−1exdx=e−nIn−1I_n = \int_0^1 x^n e^x dx = \left[ x^n e^x \right]_0^1 - n \int_0^1 x^{n-1} e^x dx = e - n I_{n-1}.
23 puncte
Demonstrați că șirul este descrescător și mărginit: pentru n≥1n \geq 1, In≤In−1I_n \leq I_{n-1} deoarece xn≤xn−1x^n \leq x^{n-1} pe [0,1][0,1], și 0≤In≤∫01xnedx=en+10 \leq I_n \leq \int_0^1 x^n e dx = \frac{e}{n+1}, deci șirul este convergent.
33 puncte
Fie L=lim⁡n→∞InL = \lim_{n \to \infty} I_n. Din relația de recurență și faptul că In→0I_n \to 0 (deoarece en+1→0\frac{e}{n+1} \to 0), rezultă că L=0L = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.