MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeEcuații exponentialeLogaritmi
Fie șirul (yn)n≥1(y_n)_{n \geq 1} definit prin y1=2y_1 = 2 și yn+1=2yn−1y_{n+1} = 2^{y_n - 1} pentru orice n≥1n \geq 1. a) Demonstrați că șirul este descrescător. b) Găsiți limita șirului, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Arătăm prin inducție că yn>1y_n > 1 pentru orice nn: y1=2>1y_1 = 2 > 1, iar dacă yn>1y_n > 1, atunci yn+1=2yn−1>20=1y_{n+1} = 2^{y_n - 1} > 2^{0} = 1.
23 puncte
Pentru a arăta că șirul este descrescător, observăm că y2=22−1=2=y1y_2 = 2^{2-1} = 2 = y_1. Presupunem că yn≤2y_n \leq 2 pentru n≥1n \geq 1 (adevărat pentru n=1,2n=1,2). Atunci, yn+1=2yn−1≤22−1=2y_{n+1} = 2^{y_n - 1} \leq 2^{2-1} = 2, iar comparând yn+1y_{n+1} și yny_n, folosim faptul că funcția f(x)=2x−1−xf(x) = 2^{x-1} - x are f(2)=0f(2)=0 și este negativă pentru x>2x > 2 în contextul limitărilor, deci yn+1≤yny_{n+1} \leq y_n.
33 puncte
Presupunem că limita LL există. Din recurență, L=2L−1L = 2^{L-1}. Luând logaritmi naturali, obținem ln⁡L=(L−1)ln⁡2\ln L = (L-1) \ln 2. Prin încercare, L=2L=2 satisface ecuația. Deoarece șirul este descrescător și mărginit inferior de 1, limita există și este L=2L=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.