MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmi
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} definit recurent prin x1=a>0x_1 = a > 0 și xn+1=ln⁡(1+xn)x_{n+1} = \ln(1 + x_n) pentru orice n≥1n \ge 1. Studiați convergența șirului și calculați limita sa în funcție de aa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Arătați că șirul este descrescător și mărginit inferior de 0, folosind inducția matematică și proprietățile funcției logaritm.
23 puncte
Deduceți că dacă șirul are limită LL, atunci LL satisface ecuația L=ln⁡(1+L)L = \ln(1 + L), aplicând operații de limită în relația de recurență.
32 puncte
Rezolvați ecuația L=ln⁡(1+L)L = \ln(1 + L) și arătați că singura soluție este L=0L = 0, utilizând proprietățile funcției logaritmice și a celor exponențiale.
42 puncte
Concluzionați că șirul converge la 0 pentru orice a>0a > 0, pe baza teoremei lui Weierstrass pentru șiruri monotone și mărginite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.