MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceTrigonometrie
Se consideră șirul (bn)n≥0(b_n)_{n \geq 0} definit prin bn=12ncos⁡(n⋅π3)b_n = \frac{1}{2^n} \cos\left(n \cdot \frac{\pi}{3}\right). Studiați convergența șirului (bn)(b_n) și calculați suma Sn=∑k=0n−1bkS_n = \sum_{k=0}^{n-1} b_k.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că cos⁡(n⋅π3)\cos(n \cdot \frac{\pi}{3}) ia valori periodice, sau se folosește formula cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} pentru a scrie bn=Re(12neinπ/3)b_n = \text{Re}\left(\frac{1}{2^n} e^{i n \pi/3}\right).
24 puncte
Șirul (bn)(b_n) converge la 0 deoarece ∣bn∣≤12n\left| b_n \right| \leq \frac{1}{2^n} și lim⁡n→∞12n=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0. Suma SnS_n se calculează folosind suma unei progresii geometrice: Sn=∑k=0n−112kcos⁡(k⋅π3)=Re(∑k=0n−1(eiπ/32)k)S_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2^k} \cos\left(k \cdot \frac{\pi}{3}\right) = \text{Re}\left( \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{e^{i \pi/3}}{2} \right)^k \right).
33 puncte
Se evaluează suma geometrică și se obține Sn=Re(1−(eiπ/32)n1−eiπ/32)S_n = \text{Re}\left( \frac{1 - \left( \frac{e^{i \pi/3}}{2} \right)^n}{1 - \frac{e^{i \pi/3}}{2}} \right). Se poate calcula explicit sau se observă că suma converge când n→∞n \to \infty la 11−eiπ/32\frac{1}{1 - \frac{e^{i \pi/3}}{2}} și se ia partea reală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.