MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \ge 1} definit prin x1=12x_1 = \frac{1}{2} și xn+1=xn2+14x_{n+1} = x_n^2 + \frac{1}{4} pentru n≥1n \ge 1. Studiați monotonia și mărginirea șirului și determinați dacă este convergent. În caz afirmativ, calculați limita.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se arată că șirul este mărginit. Prin inducție, se demonstrează că 0<xn<10 < x_n < 1 pentru orice n≥1n \ge 1.\n
24 puncte
Se studiază monotonia. Calculăm xn+1−xn=xn2+14−xn=(xn−12)2≥0x_{n+1} - x_n = x_n^2 + \frac{1}{4} - x_n = (x_n - \frac{1}{2})^2 \ge 0, deci șirul este crescător.\n
33 puncte
Deoarece șirul este crescător și mărginit, este convergent. Fie LL limita. Din xn+1=xn2+14x_{n+1} = x_n^2 + \frac{1}{4}, trecând la limită, L=L2+14⇒L2−L+14=0⇒(L−12)2=0⇒L=12L = L^2 + \frac{1}{4} \Rightarrow L^2 - L + \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow (L - \frac{1}{2})^2 = 0 \Rightarrow L = \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.