MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=2x_1 = 2 și xn+1=xn+53x_{n+1} = \frac{x_n + 5}{3} pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul (yn)n≥1(y_n)_{n \geq 1} definit prin yn=xn−52y_n = x_n - \frac{5}{2} este o progresie geometrică. Apoi calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Scrieți relația de recurență pentru yny_n: yn+1=xn+1−52=xn+53−52=xn−523=yn3y_{n+1} = x_{n+1} - \frac{5}{2} = \frac{x_n + 5}{3} - \frac{5}{2} = \frac{x_n - \frac{5}{2}}{3} = \frac{y_n}{3}. Deci yn+1=13yny_{n+1} = \frac{1}{3} y_n, ceea ce arată că (yn)(y_n) este progresie geometrică cu rația q=13q = \frac{1}{3}.
22 puncte
Primul termen al progresiei geometrice: y1=x1−52=2−52=−12y_1 = x_1 - \frac{5}{2} = 2 - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}.
32 puncte
Termenul general al lui yny_n: yn=y1⋅qn−1=−12⋅(13)n−1y_n = y_1 \cdot q^{n-1} = -\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}. Atunci xn=yn+52=52−12⋅(13)n−1x_n = y_n + \frac{5}{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}.
42 puncte
Calculul limitei: lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞(52−12⋅(13)n−1)=52\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \right) = \frac{5}{2}, deoarece (13)n−1→0\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \to 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.