MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} dat de an=log⁡2(n2+2n)−log⁡2(n2+1)a_n = \log_2( n^2 + 2n ) - \log_2( n^2 + 1 ). Calculați lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n și demonstrați că șirul este strict descrescător.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți proprietățile logaritmilor pentru a scrie an=log⁡2(n2+2nn2+1)a_n = \log_2 \left( \frac{n^2 + 2n}{n^2 + 1} \right).\n
23 puncte
Calculați limita: lim⁡n→∞n2+2nn2+1=lim⁡n→∞1+2n1+1n2=1\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n}{n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n}}{1 + \frac{1}{n^2}} = 1, deci lim⁡n→∞an=log⁡21=0\lim_{n \to \infty} a_n = \log_2 1 = 0.\n
34 puncte
Arătați că an+1<ana_{n+1} < a_n pentru orice n≥1n \ge 1: calculați an+1−an=log⁡2((n+1)2+2(n+1)(n+1)2+1⋅n2+1n2+2n)a_{n+1} - a_n = \log_2 \left( \frac{(n+1)^2 + 2(n+1)}{(n+1)^2 + 1} \cdot \frac{n^2 + 1}{n^2 + 2n} \right). Demonstrați că fracția din logaritm este subunitară prin inegalități algebrice sau analiză a funcției asociate, de exemplu arătând că (n+1)2+2(n+1)(n+1)2+1<n2+2nn2+1\frac{(n+1)^2 + 2(n+1)}{(n+1)^2 + 1} < \frac{n^2 + 2n}{n^2 + 1} pentru n≥1n \ge 1, deci logaritmul este negativ.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.