MediuȘiruri de numere realeClasa 12

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeIntegrale definiteStudiul funcțiilor
Fie șirul (In)n≥1(I_n)_{n \geq 1} definit prin In=∫01xnexdxI_n = \int_{0}^{1} x^n e^{x} dx. Arătați că șirul (In)(I_n) este descrescător și convergent, și calculați lim⁡n→∞In\lim_{n \to \infty} I_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru orice n≥1n \geq 1, avem In+1=∫01xn+1exdx≤∫01xnexdx=InI_{n+1} = \int_{0}^{1} x^{n+1} e^{x} dx \leq \int_{0}^{1} x^n e^{x} dx = I_n, deoarece xn+1≤xnx^{n+1} \leq x^n pe intervalul [0,1][0,1] și ex>0e^{x} > 0.
23 puncte
Șirul este mărginit inferior de 00 și superior de I1=∫01xexdx=e−2I_1 = \int_{0}^{1} x e^{x} dx = e - 2.
33 puncte
Folosind teorema cleștelui, observăm că 0≤In≤∫01xnedx=e∫01xndx=en+10 \leq I_n \leq \int_{0}^{1} x^n e dx = e \int_{0}^{1} x^n dx = \frac{e}{n+1}, deci lim⁡n→∞In=0\lim_{n \to \infty} I_n = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.