MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=3an+4a_{n+1} = 3a_n + 4 pentru orice n≥1n \geq 1. a) Demonstrați prin inducție matematică că an=4⋅3n−1−2a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2 pentru orice n≥1n \geq 1. b) Calculați suma Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1: a1=2a_1 = 2 și 4⋅30−2=4−2=24 \cdot 3^{0} - 2 = 4 - 2 = 2, egalitate adevărată.
24 puncte
Presupunerea inductivă: pentru un n fixat, an=4⋅3n−1−2a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2. Demonstrația pentru n+1: an+1=3an+4=3(4⋅3n−1−2)+4=4⋅3n−6+4=4⋅3n−2a_{n+1} = 3a_n + 4 = 3(4 \cdot 3^{n-1} - 2) + 4 = 4 \cdot 3^n - 6 + 4 = 4 \cdot 3^n - 2, care este formula pentru n+1.
34 puncte
Calculul sumei: Sn=∑k=1nak=∑k=1n(4⋅3k−1−2)=4∑k=1n3k−1−2n=4⋅3n−13−1−2n=2(3n−1)−2n=2⋅3n−2−2nS_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (4 \cdot 3^{k-1} - 2) = 4 \sum_{k=1}^{n} 3^{k-1} - 2n = 4 \cdot \frac{3^n - 1}{3 - 1} - 2n = 2(3^n - 1) - 2n = 2 \cdot 3^n - 2 - 2n.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.