MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Fie șirul (an)(a_n) o progresie aritmetică cu rația dd. Știind că a3+a7=24a_3 + a_7 = 24 și a4⋅a6=135a_4 \cdot a_6 = 135, determinați primul termen a1a_1 și rația dd, apoi calculați suma S10=a1+a2+⋯+a10S_{10} = a_1 + a_2 + \cdots + a_{10}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem ecuațiile folosind formula termenului general: a3=a1+2da_3 = a_1 + 2d, a7=a1+6da_7 = a_1 + 6d, deci a3+a7=2a1+8d=24a_3 + a_7 = 2a_1 + 8d = 24. Similar, a4=a1+3da_4 = a_1 + 3d, a6=a1+5da_6 = a_1 + 5d, deci a4⋅a6=(a1+3d)(a1+5d)=135a_4 \cdot a_6 = (a_1 + 3d)(a_1 + 5d) = 135.
24 puncte
Rezolvăm sistemul: din 2a1+8d=242a_1 + 8d = 24 obținem a1+4d=12a_1 + 4d = 12, deci a1=12−4da_1 = 12 - 4d. Substituim în (a1+3d)(a1+5d)=135(a_1 + 3d)(a_1 + 5d) = 135: (12−d)(12+d)=135⇒144−d2=135⇒d2=9⇒d=3(12 - d)(12 + d) = 135 \Rightarrow 144 - d^2 = 135 \Rightarrow d^2 = 9 \Rightarrow d = 3 sau d=−3d = -3. Atunci a1=0a_1 = 0 pentru d=3d=3 sau a1=24a_1 = 24 pentru d=−3d=-3.
33 puncte
Calculăm S10S_{10} folosind formula sumei: Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d). Pentru a1=0,d=3a_1=0, d=3, S10=102(2⋅0+9⋅3)=5⋅27=135S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot 0 + 9 \cdot 3) = 5 \cdot 27 = 135; pentru a1=24,d=−3a_1=24, d=-3, S10=102(2⋅24+9⋅(−3))=5(48−27)=5⋅21=105S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot 24 + 9 \cdot (-3)) = 5(48 - 27) = 5 \cdot 21 = 105.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.