MediuProbabilitățiClasa 10

Problemă rezolvată de Probabilități

MediuProbabilitățiProgresii AritmeticeCombinatorică
Fie P={a1,a2,…,a20}P = \{a_1, a_2, \ldots, a_{20}\} o progresie aritmetică cu a1=5a_1 = 5 și rația 33. Se aleg la întâmplare doi termeni distincți din PP. Calculați probabilitatea ca produsul lor să fie divizibil cu 1010.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Determinați termenii progresiei: an=5+(n−1)⋅3=3n+2a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 3n + 2, deci P={5,8,11,…,62}P = \{5, 8, 11, \ldots, 62\}.
22 puncte
Numărul total de perechi distincte este C202=190C_{20}^2 = 190.
33 puncte
Identificați termenii divizibili cu 2 (pari) și cu 5: termenii pari sunt pentru n par, deci 10 termeni; termenii divizibili cu 5 sunt pentru n ≡ 1 mod 5, deci 4 termeni; termenii divizibili cu 10 sunt 2.
42 puncte
Calculați numărul de perechi favorabile folosind principiul includerii și excluderii: perechile care conțin cel puțin un termen par și cel puțin un termen divizibil cu 5. Numărul de perechi fără termeni pari este C102=45C_{10}^2 = 45, fără termeni divizibili cu 5 este C162=120C_{16}^2 = 120, fără termeni pari și divizibili cu 5 este C82=28C_{8}^2 = 28, deci favorabile = 190−45−120+28=53190 - 45 - 120 + 28 = 53.
51 punct
Probabilitatea este 53190\frac{53}{190}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Probabilități

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.
Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.
Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)
Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.
Vezi toate problemele de Probabilități →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.