MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Suma primilor nn termeni ai unui șir aritmetic este Sn=3n2+5nS_n = 3n^2 + 5n. Determinați primul termen și rația progresiei. Apoi, calculați suma pătratelor primilor 10 termeni.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru o progresie aritmetică, Sn=n(2a1+(n−1)r)2S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}. Egaleazăm cu 3n2+5n3n^2 + 5n: n(2a1+(n−1)r)2=3n2+5n\frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2} = 3n^2 + 5n. Simplificăm cu nn (pentru n≠0n \neq 0): 2a1+(n−1)r=6n+102a_1 + (n-1)r = 6n + 10. Identificăm coeficienții: 2a1−r=102a_1 - r = 10 și r=6r = 6, de unde a1=8a_1 = 8 și r=6r = 6.
23 puncte
Termenii sunt ak=8+(k−1)⋅6=6k+2a_k = 8 + (k-1) \cdot 6 = 6k + 2. Suma pătratelor primilor 10 termeni: ∑k=110(6k+2)2=∑k=110(36k2+24k+4)\sum_{k=1}^{10} (6k + 2)^2 = \sum_{k=1}^{10} (36k^2 + 24k + 4).
33 puncte
Folosind ∑k=110k2=385\sum_{k=1}^{10} k^2 = 385 și ∑k=110k=55\sum_{k=1}^{10} k = 55, calculăm 36⋅385+24⋅55+4⋅10=13860+1320+40=1522036 \cdot 385 + 24 \cdot 55 + 4 \cdot 10 = 13860 + 1320 + 40 = 15220.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.