MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \ge 1. Arătați că șirul este crescător și mărginit, apoi calculați lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Se verifică că a1=1>0a_1=1>0 și prin inducție, dacă an>0a_n>0 atunci an+1=2+an>0a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}>0, deci șirul este bine definit și pozitiv. |
23 puncte
Se demonstrează prin inducție că an+1>ana_{n+1} > a_n pentru orice n≥1n \ge 1. Pentru n=1n=1, a2=2+1=3>1=a1a_2=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}>1=a_1. Presupunem an>an−1a_n > a_{n-1} și arătăm că an+1>ana_{n+1} > a_n: din an>an−1a_n > a_{n-1} avem 2+an>2+an−12+a_n > 2+a_{n-1}, deci 2+an>2+an−1\sqrt{2+a_n} > \sqrt{2+a_{n-1}}, adică an+1>ana_{n+1} > a_n. |
33 puncte
Se demonstrează prin inducție că an<2a_n < 2 pentru orice n≥1n \ge 1. Pentru n=1n=1, a1=1<2a_1=1<2. Presupunem an<2a_n < 2 și arătăm an+1<2a_{n+1} < 2: an+1=2+an<2+2=4=2a_{n+1} = \sqrt{2+a_n} < \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2. |
41 punct
Șirul este crescător și mărginit superior, deci convergent conform teoremei lui Weierstrass. |
52 puncte
Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Trecând la limită în relația de recurență, L=2+LL = \sqrt{2+L}, deci L2=2+LL^2 = 2+L, adică L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0. Soluțiile sunt L=2L=2 și L=−1L=-1, dar L≥0L \ge 0, deci L=2L=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.