MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceLogaritmi
Fie șirul de numere reale (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} o progresie geometrică cu rația r>0r > 0 și a1=5a_1 = 5. Definim șirul (cn)n≥1(c_n)_{n \ge 1} prin cn=log⁡10(an)c_n = \log_{10}( a_n ). Dacă șirul (cn)(c_n) este o progresie aritmetică cu rația 0.5, determinați rația rr a progresiei geometrice (an)(a_n) și calculați suma primilor 10 termeni ai șirului (an)(a_n).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Exprimați cnc_n în funcție de nn. Deoarece (an)(a_n) este progresie geometrică, an=a1⋅rn−1=5⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} = 5 \cdot r^{n-1}, deci cn=log⁡10(5⋅rn−1)=log⁡105+(n−1)log⁡10rc_n = \log_{10}(5 \cdot r^{n-1}) = \log_{10}5 + (n-1)\log_{10}r.
24 puncte
Folosiți faptul că (cn)(c_n) este progresie aritmetică cu rația 0.5. Rația progresiei aritmetice este cn+1−cn=log⁡10rc_{n+1} - c_n = \log_{10}r. Setăm log⁡10r=0.5\log_{10}r = 0.5, deci r=100.5=10r = 10^{0.5} = \sqrt{10}.
33 puncte
Calculați suma primilor 10 termeni ai lui (an)(a_n). an=5⋅(10)n−1=5⋅10(n−1)/2a_n = 5 \cdot (\sqrt{10})^{n-1} = 5 \cdot 10^{(n-1)/2}. Suma S10=∑n=1105⋅10(n−1)/2=5∑k=09(10)kS_{10} = \sum_{n=1}^{10} 5 \cdot 10^{(n-1)/2} = 5 \sum_{k=0}^{9} (\sqrt{10})^k. Aceasta este suma unei progresii geometrice cu rația 10\sqrt{10} și 10 termeni: S10=5⋅(10)10−110−1=5⋅105−110−1=5⋅9999910−1S_{10} = 5 \cdot \frac{(\sqrt{10})^{10} - 1}{\sqrt{10} - 1} = 5 \cdot \frac{10^5 - 1}{\sqrt{10} - 1} = 5 \cdot \frac{99999}{\sqrt{10} - 1}. Raționalizând numitorul: S10=5⋅99999⋅10+19=55555⋅(10+1)S_{10} = 5 \cdot 99999 \cdot \frac{\sqrt{10} + 1}{9} = 55555 \cdot (\sqrt{10} + 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.