MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = \sqrt{2} și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an<2a_n < 2 pentru toți n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Arătați că șirul este crescător și determinați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Baza inducției: pentru n=1n=1, a1=2<2a_1 = \sqrt{2} < 2. Pasul inducției: presupunem ak<2a_k < 2, atunci ak+1=2+ak<2+2=2a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k} < \sqrt{2 + 2} = 2, deci ak+1<2a_{k+1} < 2, adevărat pentru orice kk.
23 puncte
Arătăm că an+1>ana_{n+1} > a_n: deoarece an<2a_n < 2, avem an+12−an2=2+an−an2=−(an2−an−2)a_{n+1}^2 - a_n^2 = 2 + a_n - a_n^2 = -(a_n^2 - a_n - 2). Cum an<2a_n < 2, an2−an−2<4−2−2=0a_n^2 - a_n - 2 < 4 - 2 - 2 = 0, deci an+12>an2a_{n+1}^2 > a_n^2, și întrucât termenii sunt pozitivi, an+1>ana_{n+1} > a_n.
33 puncte
Șirul este crescător și mărginit superior de 2, deci convergent. Fie L=lim⁡anL = \lim a_n. Din recurență, L=2+LL = \sqrt{2 + L}, deci L2=2+LL^2 = 2 + L sau L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0. Soluțiile sunt L=2L = 2 sau L=−1L = -1. Cum an>0a_n > 0, limita este L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.