MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeMonotonie și convexitate
Se consideră şirul (xn)n≥1(x_n)_{n\ge 1} definit prin x1=2x_1 = 2 şi relaţia de recurenţă xn+1=12(xn+3xn)x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{3}{x_n}\right) pentru orice n≥1n\ge 1. Arătaţi că şirul (xn)(x_n) este convergent şi calculaţi limita sa. Apoi determinaţi monotonia şirului (xn)(x_n) şi calculaţi lim⁡n→∞(xn−3)⋅3n\lim_{n\to\infty} (x_n - \sqrt{3}) \cdot 3^n.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se demonstrează că xn>0x_n > 0 pentru orice n≥1n\ge 1 prin inducție. Prin inegalitatea mediilor, pentru xn>0x_n > 0 avem xn+1=12(xn+3xn)≥xn⋅3xn=3x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{3}{x_n}\right) \ge \sqrt{x_n \cdot \frac{3}{x_n}} = \sqrt{3}. Deci xn≥3x_n \ge \sqrt{3} pentru n≥2n\ge 2.
22 puncte
Se studiază monotonia: xn+1−xn=12(xn+3xn)−xn=3−xn22xnx_{n+1} - x_n = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{3}{x_n}\right) - x_n = \frac{3 - x_n^2}{2x_n}. Deoarece xn≥3x_n \ge \sqrt{3} pentru n≥2n\ge 2, rezultă xn2≥3x_n^2 \ge 3, deci xn+1−xn≤0x_{n+1} - x_n \le 0. Şirul este descrescător şi mărginit inferior de 3\sqrt{3}, deci convergent.
32 puncte
Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n\to\infty} x_n. Trecând la limită în relaţia de recurenţă, se obţine L=12(L+3L)L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{3}{L}\right), de unde L2=3L^2 = 3. Cum xn>0x_n > 0, rezultă L=3L = \sqrt{3}.
42 puncte
Se consideră yn=xn−3y_n = x_n - \sqrt{3}. Din relaţia de recurenţă, se obţine yn+1=yn22xny_{n+1} = \frac{y_n^2}{2x_n}. Pentru nn mare, xn≈3x_n \approx \sqrt{3}, deci yn+1≈yn223y_{n+1} \approx \frac{y_n^2}{2\sqrt{3}}. Prin inducţie, se arată că yn>0y_n > 0 şi lim⁡n→∞yn+1yn2=123\lim_{n\to\infty} \frac{y_{n+1}}{y_n^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}}. Pentru a calcula lim⁡n→∞yn⋅3n\lim_{n\to\infty} y_n \cdot 3^n, se consideră zn=ln⁡(yn)z_n = \ln(y_n). Se obţine zn+1=2zn+ln⁡(12xn)z_{n+1} = 2z_n + \ln\left(\frac{1}{2x_n}\right). Se demonstrează că lim⁡n→∞yn⋅3n=3\lim_{n\to\infty} y_n \cdot 3^n = \sqrt{3}.
52 puncte
Se finalizează calculul: lim⁡n→∞(xn−3)⋅3n=3\lim_{n\to\infty} (x_n - \sqrt{3}) \cdot 3^n = \sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.