MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥0(a_n)_{n \geq 0} definit prin a0=5a_0 = 5 și relația de recurență an+1=3an−4a_{n+1} = 3a_n - 4 pentru n≥0n \geq 0. Determinați formula termenului general ana_n în funcție de nn și studiați convergența șirului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Scrieți recurența sub forma an+1−2=3(an−2)a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2) și definiți bn=an−2b_n = a_n - 2. Arătați că (bn)(b_n) este o progresie geometrică cu rația 33.
23 puncte
Deduceți că bn=b0⋅3nb_n = b_0 \cdot 3^n, unde b0=a0−2=3b_0 = a_0 - 2 = 3, deci bn=3n+1b_n = 3^{n+1} și an=3n+1+2a_n = 3^{n+1} + 2.
32 puncte
Calculați lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞(3n+1+2)=+∞\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (3^{n+1} + 2) = +\infty, deci șirul este divergent.
41 punct
Prezentați concluzia asupra naturii șirului.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.