MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie aritmetică cu primul termen a1=aa_1 = a și rația r≠0r \neq 0. Se consideră șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} definit prin bn=1anan+1b_n = \frac{1}{a_n a_{n+1}}. Calculați suma Sn=∑k=1nbkS_n = \sum_{k=1}^{n} b_k și determinați lim⁡n→∞Sn\lim_{n \to \infty} S_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Exprimăm termenul general al progresiei aritmetice: an=a+(n−1)ra_n = a + (n-1)r.
24 puncte
Descompunem bnb_n în fracții simple: bn=1r(1a+(n−1)r−1a+nr)b_n = \frac{1}{r} \left( \frac{1}{a+(n-1)r} - \frac{1}{a+nr} \right).
33 puncte
Calculăm suma telescopă: Sn=∑k=1nbk=1r(1a−1a+nr)S_n = \sum_{k=1}^{n} b_k = \frac{1}{r} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+nr} \right). Apoi, lim⁡n→∞Sn=1ar\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{ar}, presupunând a≠0a \neq 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.