MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeTrigonometrie
Fie șirul (an)n≥0(a_n)_{n \geq 0} definit prin a0=π4a_0 = \frac{\pi}{4} și an+1=sin⁡(an)a_{n+1} = \sin(a_n) pentru n≥0n \geq 0. Să se studieze convergența acestui șir și să se determine limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Arătați că șirul este descrescător, folosind proprietatea că sin⁡(x)≤x\sin(x) \leq x pentru x∈[0,π/2]x \in [0, \pi/2].
23 puncte
Demonstrați că șirul este mărginit inferior de 0.
32 puncte
Aplicați teorema convergenței șirurilor monotone și mărginite pentru a deduce existența limitei.
42 puncte
Calculați limita LL rezolvând ecuația L=sin⁡(L)L = \sin(L) și argumentați că L=0L = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.