MediuProbabilitățiClasa 10

Problemă rezolvată de Probabilități

MediuProbabilitățiProgresii AritmeticeCombinatorică
Din mulțimea numerelor naturale de la 1 la 100, se aleg la întâmplare trei numere distincte. Care este probabilitatea ca acestea să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Numărul total de moduri de a alege 3 numere distincte din 100 este C1003=100⋅99⋅986=161700C_{100}^3 = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98}{6} = 161700.
24 puncte
Numărul de progresii aritmetice cu trei termeni consecutivi din mulțimea {1,2,…,100}\{1,2,\dots,100\}. Fie aa primul termen și rr rația. Termenii sunt a,a+r,a+2ra, a+r, a+2r. Condiția: a+2r≤100a+2r \leq 100 și a≥1a \geq 1, r≥1r \geq 1 număr natural. Pentru rr fixat, aa poate lua valori de la 1 la 100−2r100-2r. Deoarece 100−2r≥1100-2r \geq 1, avem r≤49.5r \leq 49.5, deci rr de la 1 la 49. Numărul total de progresii este ∑r=149(100−2r)=∑r=149100−2∑r=149r=100⋅49−2⋅49⋅502=4900−2450=2450\sum_{r=1}^{49} (100-2r) = \sum_{r=1}^{49} 100 - 2\sum_{r=1}^{49} r = 100 \cdot 49 - 2 \cdot \frac{49 \cdot 50}{2} = 4900 - 2450 = 2450.
32 puncte
Probabilitatea este 2450161700=2450161700\frac{2450}{161700} = \frac{2450}{161700}. Simplificăm: 2450161700=166\frac{2450}{161700} = \frac{1}{66}.
41 punct
Concluzie: Probabilitatea ca cele trei numere să fie termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice este 166\frac{1}{66}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Probabilități

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.
Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.
Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)
Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.
Vezi toate problemele de Probabilități →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.