MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiContinuitate
Fie șirul (xn)n≥0(x_n)_{n \ge 0} definit prin x0=2x_0 = 2 și xn+1=ln⁡(1+exn)x_{n+1} = \ln(1 + e^{x_n}) pentru n≥0n \ge 0. Studiați monotonitatea șirului și calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Se arată prin inducție matematică că xn>0x_n > 0 pentru orice n≥0n \ge 0 și că șirul este crescător (adică xn+1>xnx_{n+1} > x_n).\n
26 puncte
Se demonstrează că șirul este mărginit superior (de exemplu, se poate arăta că xn<ln⁡(2+e2)x_n < \ln(2 + e^2) pentru orice nn). Deoarece șirul este crescător și mărginit, are limită finită LL. Trecând la limită în relația de recurență și folosind continuitatea funcției logaritm, se obține L=ln⁡(1+eL)L = \ln(1 + e^L). Rezolvând această ecuație, se găsește L=ln⁡(2)L = \ln(2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.