MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeEcuații iraționale
Se consideră șirul (xn)(x_n) definit de x1=0x_1 = 0 și xn+1=xn+1x_{n+1} = \sqrt{x_n + 1} pentru n≥1n \geq 1. a) Să se demonstreze că șirul este crescător și mărginit. b) Să se afle limita șirului. c) Să se rezolve ecuația x=x+1x = \sqrt{x + 1} și să se arate că limita este soluția pozitivă a acestei ecuații.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se arată prin inducție că 0≤xn<20 \leq x_n < 2 pentru orice nn (de exemplu, x1=0x_1=0, și dacă 0≤xn<20 \leq x_n < 2, atunci 1≤xn+1<31 \leq x_n+1 < 3, deci 1≤xn+1=xn+1<3<21 \leq x_{n+1} = \sqrt{x_n+1} < \sqrt{3} < 2). Monotonia: se demonstrează că xn+1>xnx_{n+1} > x_n pentru n≥1n \geq 1, deoarece xn+12=xn+1>xn2+1x_{n+1}^2 = x_n + 1 > x_n^2 + 1 nu este direct, dar se poate arăta că xn+1−xn=xn+1−xnx_{n+1} - x_n = \sqrt{x_n + 1} - x_n, și prin studierea semnului, se obține că este pozitiv pentru xnx_n în intervalul relevant. Alternativ, se poate folosi inducția: x2=1=1>0=x1x_2 = \sqrt{1} = 1 > 0 = x_1, și presupunând xn>xn−1x_{n} > x_{n-1}, atunci xn+1=xn+1>xn−1+1=xnx_{n+1} = \sqrt{x_n + 1} > \sqrt{x_{n-1} + 1} = x_n.
23 puncte
Din teorema lui Weierstrass (șir monoton și mărginit), șirul este convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din recurența xn+1=xn+1x_{n+1} = \sqrt{x_n + 1}, trecând la limită, se obține L=L+1L = \sqrt{L + 1}, deci L2=L+1L^2 = L + 1.
33 puncte
Se rezolvă ecuația x2−x−1=0x^2 - x - 1 = 0, obținând x=1±52x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}. Soluția pozitivă este L=1+52L = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, care este limita șirului, verificată din condiția L≥0L \geq 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.