MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeLogaritmi
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2xn+3x_{n+1} = 2x_n + 3 pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul (yn)(y_n) cu yn=log⁡2(xn+3)y_n = \log_2(x_n + 3) este o progresie aritmetică și determinați rația acesteia.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Determinăm termenul general al șirului (xn)(x_n). Rezolvăm recurența: xn+1=2xn+3x_{n+1} = 2x_n + 3. Considerăm xn=A⋅2n−1+Bx_n = A \cdot 2^{n-1} + B și găsim A=4,B=−3A=4, B=-3, deci xn=4⋅2n−1−3x_n = 4 \cdot 2^{n-1} - 3.
23 puncte
Calculăm yn=log⁡2(xn+3)=log⁡2(4⋅2n−1)=log⁡2(2n+1)=n+1y_n = \log_2(x_n + 3) = \log_2(4 \cdot 2^{n-1}) = \log_2(2^{n+1}) = n+1.
33 puncte
Verificăm că yny_n este progresie aritmetică: yn+1−yn=(n+2)−(n+1)=1y_{n+1} - y_n = (n+2) - (n+1) = 1, constant, deci rația este 11.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.