MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmi
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin an=log⁡2(3n+5n)a_n = \log_2(3^n + 5^n). a) Demonstrați că șirul (an)(a_n) este strict crescător. b) Calculați lim⁡n→∞ann\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}. c) Studiați convergența șirului (bn)n≥1(b_n)_{n \ge 1} unde bn=ann2b_n = \frac{a_n}{n^2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se arată că an+1>ana_{n+1} > a_n pentru orice nn. an+1−an=log⁡2(3n+1+5n+1)−log⁡2(3n+5n)=log⁡2(3n+1+5n+13n+5n)a_{n+1} - a_n = \log_2(3^{n+1} + 5^{n+1}) - \log_2(3^n + 5^n) = \log_2\left(\frac{3^{n+1} + 5^{n+1}}{3^n + 5^n}\right). Se demonstrează că 3n+1+5n+13n+5n>1\frac{3^{n+1} + 5^{n+1}}{3^n + 5^n} > 1, de exemplu, prin factorizare: 3n+1+5n+13n+5n=3⋅3n+5⋅5n3n+5n>1\frac{3^{n+1} + 5^{n+1}}{3^n + 5^n} = \frac{3 \cdot 3^n + 5 \cdot 5^n}{3^n + 5^n} > 1, deoarece 5>35 > 3 și termenii sunt pozitivi.
24 puncte
Se calculează lim⁡n→∞ann\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}. an=log⁡2(3n+5n)=log⁡2(5n(1+(3/5)n))=nlog⁡25+log⁡2(1+(3/5)n)a_n = \log_2(3^n + 5^n) = \log_2(5^n(1 + (3/5)^n)) = n \log_2 5 + \log_2(1 + (3/5)^n). Deci ann=log⁡25+log⁡2(1+(3/5)n)n\frac{a_n}{n} = \log_2 5 + \frac{\log_2(1 + (3/5)^n)}{n}. Cum (3/5)n→0(3/5)^n \to 0 și log⁡2(1+(3/5)n)→0\log_2(1 + (3/5)^n) \to 0, avem lim⁡n→∞ann=log⁡25\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = \log_2 5.
33 puncte
Pentru bn=ann2b_n = \frac{a_n}{n^2}, se observă că bn=nlog⁡25+log⁡2(1+(3/5)n)n2=log⁡25n+log⁡2(1+(3/5)n)n2b_n = \frac{n \log_2 5 + \log_2(1 + (3/5)^n)}{n^2} = \frac{\log_2 5}{n} + \frac{\log_2(1 + (3/5)^n)}{n^2}. Ambele termeni tind la 0 când n→∞n \to \infty, deci lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0, iar șirul (bn)(b_n) este convergent.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.