MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an+3n−1a_{n+1} = a_n + 3n - 1 pentru orice n≥1n \ge 1. a) Demonstrați că șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \ge 1}, unde bn=an−32n2+52nb_n = a_n - \frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n, este constant. b) Determinați termenul general al șirului (an)(a_n). c) Calculați lim⁡n→∞ann2\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm bn+1−bn=(an+1−32(n+1)2+52(n+1))−(an−32n2+52n)=(an+3n−1)−32(n2+2n+1)+52(n+1)−an+32n2−52n=3n−1−32n2−3n−32+52n+52+32n2−52n=(−1−32+52)=0b_{n+1} - b_n = (a_{n+1} - \frac{3}{2}(n+1)^2 + \frac{5}{2}(n+1)) - (a_n - \frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n) = (a_n + 3n - 1) - \frac{3}{2}(n^2+2n+1) + \frac{5}{2}(n+1) - a_n + \frac{3}{2}n^2 - \frac{5}{2}n = 3n - 1 - \frac{3}{2}n^2 - 3n - \frac{3}{2} + \frac{5}{2}n + \frac{5}{2} + \frac{3}{2}n^2 - \frac{5}{2}n = (-1 - \frac{3}{2} + \frac{5}{2}) = 0. Deci bn+1=bnb_{n+1} = b_n, adică șirul este constant.
23 puncte
Deoarece bnb_n este constant, bn=b1b_n = b_1 pentru orice nn. Calculăm b1=a1−32⋅12+52⋅1=2−32+52=3b_1 = a_1 - \frac{3}{2} \cdot 1^2 + \frac{5}{2} \cdot 1 = 2 - \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = 3. Atunci an−32n2+52n=3a_n - \frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n = 3, deci an=32n2−52n+3a_n = \frac{3}{2}n^2 - \frac{5}{2}n + 3.
34 puncte
lim⁡n→∞ann2=lim⁡n→∞32n2−52n+3n2=lim⁡n→∞(32−52n+3n2)=32\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{2}n^2 - \frac{5}{2}n + 3}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3}{2} - \frac{5}{2n} + \frac{3}{n^2} \right) = \frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.