MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z=12(1+i)z = \frac{1}{2}(1+i). Definiți șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} prin an=Re(zn)a_n = \text{Re}(z^n). Demonstrați că (an)(a_n) satisface relația de recurență an+2=an+1−12ana_{n+2} = a_{n+1} - \frac{1}{2}a_n pentru n≥1n \geq 1 și determinați lim⁡n→∞an\lim_{n \to \infty} a_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem z=12(1+i)z = \frac{1}{2}(1+i) și observăm că an=Re(zn)a_n = \text{Re}(z^n).
24 puncte
Arătăm că zz este rădăcină a ecuației z2−z+12=0z^2 - z + \frac{1}{2} = 0. Atunci, înmulțind cu znz^n, avem zn+2−zn+1+12zn=0z^{n+2} - z^{n+1} + \frac{1}{2} z^n = 0. Luând partea reală, obținem an+2−an+1+12an=0a_{n+2} - a_{n+1} + \frac{1}{2} a_n = 0, deci an+2=an+1−12ana_{n+2} = a_{n+1} - \frac{1}{2} a_n.
33 puncte
Pentru limită, calculăm modulul lui zz: ∣z∣=22=12<1|z| = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1. Deoarece ∣zn∣=∣z∣n→0|z^n| = |z|^n \to 0, avem zn→0z^n \to 0, și cum ana_n este partea reală, an→0a_n \to 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.