MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie aritmetică de numere reale cu diferența dd. Se știe că a1+a5=10a_1 + a_5 = 10 și a2⋅a4=21a_2 \cdot a_4 = 21. Să se determine a1a_1 și dd, apoi să se calculeze suma Sn=∑k=1nakS_n = \sum_{k=1}^{n} a_k și să se studieze comportarea șirului (Sn)(S_n) când n→∞n \to \infty.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem sistemul de ecuații: a1+a5=a1+(a1+4d)=10a_1 + a_5 = a_1 + (a_1 + 4d) = 10 și a2⋅a4=(a1+d)(a1+3d)=21a_2 \cdot a_4 = (a_1 + d)(a_1 + 3d) = 21.\n
23 puncte
Rezolvăm sistemul. Din prima ecuație: 2a1+4d=10⇒a1+2d=5⇒a1=5−2d2a_1 + 4d = 10 \Rightarrow a_1 + 2d = 5 \Rightarrow a_1 = 5 - 2d. Substituim în a doua: (5−2d+d)(5−2d+3d)=(5−d)(5+d)=25−d2=21⇒d2=4⇒d=±2(5-2d + d)(5-2d + 3d) = (5-d)(5+d) = 25 - d^2 = 21 \Rightarrow d^2 = 4 \Rightarrow d = \pm 2. Pentru d=2d=2, a1=5−4=1a_1 = 5 - 4 = 1; pentru d=−2d=-2, a1=5+4=9a_1 = 5 + 4 = 9.\n
32 puncte
Calculăm SnS_n folosind formula sumei progresiei aritmetice: Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d). Pentru a1=1,d=2a_1=1, d=2: Sn=n2(2⋅1+(n−1)2)=n2(2+2n−2)=n2S_n = \frac{n}{2}(2 \cdot 1 + (n-1)2) = \frac{n}{2}(2 + 2n - 2) = n^2. Pentru a1=9,d=−2a_1=9, d=-2: Sn=n2(2⋅9+(n−1)(−2))=n2(18−2n+2)=n2(20−2n)=n(10−n)S_n = \frac{n}{2}(2 \cdot 9 + (n-1)(-2)) = \frac{n}{2}(18 - 2n + 2) = \frac{n}{2}(20 - 2n) = n(10 - n).\n
42 puncte
Studiem limita șirului (Sn)(S_n): pentru a1=1,d=2a_1=1, d=2, Sn=n2→∞S_n = n^2 \to \infty când n→∞n \to \infty; pentru a1=9,d=−2a_1=9, d=-2, Sn=n(10−n)→−∞S_n = n(10-n) \to -\infty când n→∞n \to \infty (deoarece termenul dominant este −n2-n^2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.