MediuProbabilitățiClasa 10

Problemă rezolvată de Probabilități

MediuProbabilitățiCombinatoricăLogică matematică
Se aruncă două zaruri obișnuite, cu fețele numerotate de la 1 la 6. Calculați probabilitatea ca suma numerelor obținute să fie un număr prim, știind că produsul numerelor este par.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definim evenimentele: AA = "suma numerelor este prim", BB = "produsul numerelor este par". Trebuie să calculăm P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}. Spațiul de probabilitate are 6×6=366 \times 6 = 36 cazuri egal probabile.
23 puncte
Calculăm P(B)P(B). Produsul este par dacă cel puțin un zar arată număr par. Numărul cazurilor favorabile: total cazuri minus cazurile cu produs impar (adică ambii zaruri impari). Zarurile impare: 1,3,5, deci 3×3=93 \times 3 = 9 cazuri. Astfel, cazuri cu produs par: 36−9=2736 - 9 = 27. Deci P(B)=2736=34P(B) = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}.
33 puncte
Calculăm P(A∩B)P(A \cap B). Suma primă și produsul par. Sumele prime posibile la aruncarea a două zaruri: 2, 3, 5, 7, 11 (sumele min 2, max 12). Listăm perechile (a,b)(a,b) cu a,b∈{1,2,3,4,5,6}a,b \in \{1,2,3,4,5,6\} astfel încât a+ba+b este prim și a⋅ba \cdot b este par.
  • Suma 2: (1,1) – produs impar, nu se ia.
  • Suma 3: (1,2), (2,1) – ambele au produs par (2 și 2), deci 2 cazuri.
  • Suma 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) – toate au produs par? (1,4): produs 4 par; (2,3): 6 par; (3,2): 6 par; (4,1): 4 par. Deci 4 cazuri.
  • Suma 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) – toate au produs par? (1,6): 6 par; (2,5): 10 par; (3,4): 12 par; (4,3): 12 par; (5,2): 10 par; (6,1): 6 par. Deci 6 cazuri.
  • Suma 11: (5,6), (6,5) – ambele au produs 30 par, deci 2 cazuri. Total cazuri pentru A∩BA \cap B: 2+4+6+2=142 + 4 + 6 + 2 = 14. Deci P(A∩B)=1436=718P(A \cap B) = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}.
42 puncte
Aplicăm formula probabilității condiționate: P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=71834=718⋅43=2854=1427P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{7}{18}}{\frac{3}{4}} = \frac{7}{18} \cdot \frac{4}{3} = \frac{28}{54} = \frac{14}{27}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Probabilități

Ușor#1ProbabilitățiMatematică aplicată
Într-un joc de noroc, un bilet costă c=5c = 5 lei. Probabilitățile de câștig sunt: P(caˆștig 100 lei)=0.01P(\text{câștig } 100 \text{ lei}) = 0.01, P(caˆștig 50 lei)=0.05P(\text{câștig } 50 \text{ lei}) = 0.05, iar probabilitatea de a nu câștiga nimic este 0.940.94. Calculați valoarea medie a câștigului net și decideți dacă jocul este echitabil pentru jucător.
Mediu#2ProbabilitățiCombinatorică
Într-o linie de producție, probabilitatea ca un articol să fie defect este de 0,02. Se inspectează un lot de 50 de articole. Calculați probabilitatea ca cel mult 2 articole să fie defecte, folosind distribuția binomială. Apoi, aproximați această probabilitate folosind distribuția Poisson și comparați rezultatele.
Ușor#3ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-un sondaj, 60% dintre respondenți susțin o anumită propunere. Dacă se alege la întâmplare un eșantion de 5 persoane, care este probabilitatea ca exact 3 dintre ele să susțină propunerea? (Presupunem că sondajul este reprezentativ și că opiniile sunt independente.)
Ușor#4ProbabilitățiStatistică descriptivă
Într-o fabrică, lungimea unui anumit tip de șurub este distribuită normal cu media μ=50\mu = 50 mm și abaterea standard σ=2\sigma = 2 mm. Șuruburile sunt considerate defecte dacă lungimea este mai mică de 48 mm sau mai mare de 52 mm. Calculați procentul de șuruburi defecte. Utilizați proprietățile distribuției normale standard și se știe că P(Z<1)≈0.8413P(Z < 1) \approx 0.8413, unde ZZ este variabila normală standard.
Vezi toate problemele de Probabilități →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Probabilități cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.