MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeInducție matematică
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=ax_1 = a, unde a>0a > 0, și xn+1=12(xn+2xn)x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{2}{x_n} \right) pentru orice n≥1n \geq 1. a) Arătați că șirul este mărginit inferior de 2\sqrt{2}. b) Demonstrați că șirul este descrescător pentru n≥2n \geq 2. c) Calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se aplică inegalitatea mediilor: pentru orice n≥1n \geq 1, xn+1=12(xn+2xn)≥xn⋅2xn=2x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{2}{x_n} \right) \geq \sqrt{x_n \cdot \frac{2}{x_n}} = \sqrt{2}. Prin inducție matematică, dacă xn>0x_n > 0, atunci xn+1≥2x_{n+1} \geq \sqrt{2}. Cum x1=a>0x_1 = a > 0, toți termenii sunt pozitivi, deci xn≥2x_n \geq \sqrt{2} pentru orice n≥1n \geq 1.
24 puncte
Se calculează xn+1−xn=12(xn+2xn)−xn=12(2xn−xn)=2−xn22xnx_{n+1} - x_n = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{2}{x_n} \right) - x_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{x_n} - x_n \right) = \frac{2 - x_n^2}{2x_n}. Din step 1, xn≥2x_n \geq \sqrt{2}, deci xn2≥2x_n^2 \geq 2, astfel 2−xn2≤02 - x_n^2 \leq 0, iar xn>0x_n > 0, deci xn+1−xn≤0x_{n+1} - x_n \leq 0, adică șirul este descrescător pentru n≥1n \geq 1; în particular pentru n≥2n \geq 2.
33 puncte
Șirul este descrescător și mărginit inferior, deci convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din relația de recurență, L=12(L+2L)L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{2}{L} \right). Rezolvând: 2L=L+2L⇒L=2L⇒L2=2⇒L=22L = L + \frac{2}{L} \Rightarrow L = \frac{2}{L} \Rightarrow L^2 = 2 \Rightarrow L = \sqrt{2} (deoarece xn>0x_n > 0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.