MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeTrigonometrieStudiul funcțiilor
Se consideră șirul (xn)n≥0(x_n)_{n \geq 0} definit prin x0=1x_0 = 1 și xn+1=cos⁡(xn)x_{n+1} = \cos(x_n) pentru orice n≥0n \geq 0. Studiați monotonia șirului și demonstrați că este convergent. Apoi, determinați limita șirului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Prin inducție, arătați că pentru n≥1n \geq 1, 0≤xn≤10 \leq x_n \leq 1 și că șirul este descrescător, deoarece cos⁡(x)\cos(x) este descrescătoare pe [0,1][0,1] și xn+1=cos⁡(xn)≤xnx_{n+1} = \cos(x_n) \leq x_n.
23 puncte
Aplicați teorema șirurilor monotone și mărginite: șirul este convergent deoarece este descrescător și mărginit inferior.
33 puncte
Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din relația de recurență, trecând la limită, obținem L=cos⁡(L)L = \cos(L). Rezolvați ecuația L=cos⁡(L)L = \cos(L); singura soluție în [0,1][0,1] este L≈0.739085L \approx 0.739085 (se poate aproxima sau menționa că este punctul fix al cosinusului).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.