MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeMonotonie și convexitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=an2+4a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 + 4} pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este crescător și determinați limita sa. Apoi, calculați lim⁡n→∞ann\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Arătăm că șirul este crescător: pentru orice n≥1n \geq 1, avem an+1−an=an2+4−an>0a_{n+1} - a_n = \sqrt{a_n^2 + 4} - a_n > 0, deoarece an2+4>an\sqrt{a_n^2 + 4} > a_n, întrucât 4>04 > 0 și an>0a_n > 0 (se verifică prin inducție că an>0a_n > 0).
24 puncte
Determinăm limita șirului: presupunem că există L∈RL \in \mathbb{R} astfel încât lim⁡n→∞an=L\lim_{n \to \infty} a_n = L. Din relația de recurență, prin trecere la limită, obținem L=L2+4L = \sqrt{L^2 + 4}, de unde L2=L2+4L^2 = L^2 + 4, ceea ce este imposibil. Prin urmare, șirul nu are limită finită. Deoarece șirul este crescător și se poate arăta că este nemărginit (de exemplu, din an+12=an2+4a_{n+1}^2 = a_n^2 + 4, rezultă an2=4na_n^2 = 4n, deci an=2na_n = 2\sqrt{n}), limita este +∞+\infty.
33 puncte
Calculăm lim⁡n→∞ann\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}: din relația an+12=an2+4a_{n+1}^2 = a_n^2 + 4, prin inducție sau observație, obținem an2=4na_n^2 = 4n, deci an=2na_n = 2\sqrt{n} (pentru n≥1n \geq 1). Atunci, ann=2nn=2n→0\frac{a_n}{n} = \frac{2\sqrt{n}}{n} = \frac{2}{\sqrt{n}} \to 0, deci limita este 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.