MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeNumere ComplexeTrigonometrie
Fie șirul complex (zn)n≥1(z_n)_{n \geq 1} definit prin zn=(1+i)nz_n = (1+i)^n. Considerăm șirul real (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} unde an=ℜ(zn)a_n = \Re(z_n). Arătați că (an)(a_n) satisface o relație de recurență liniară de ordinul 2 și determinați termenul general al acestui șir. Apoi, calculați lim⁡n→∞an2n\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt{2^n}} dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Exprimați 1+i1+i în formă trigonometrică: 1+i=2eiπ/41+i = \sqrt{2} e^{i\pi/4}, deci zn=(2)neinπ/4=2n/2(cos⁡(nπ4)+isin⁡(nπ4))z_n = (\sqrt{2})^n e^{i n\pi/4} = 2^{n/2} \left( \cos\left(\frac{n\pi}{4}\right) + i \sin\left(\frac{n\pi}{4}\right) \right); atunci an=2n/2cos⁡(nπ4)a_n = 2^{n/2} \cos\left(\frac{n\pi}{4}\right).
23 puncte
Deduceți relația de recurență: folosind proprietățile cosinusului, cos⁡((n+2)π4)=cos⁡(nπ4+π2)=−sin⁡(nπ4)\cos\left(\frac{(n+2)\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{n\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{n\pi}{4}\right), dar din an=2n/2cos⁡(nπ4)a_n = 2^{n/2} \cos\left(\frac{n\pi}{4}\right) și an+2=2(n+2)/2cos⁡((n+2)π4)a_{n+2} = 2^{(n+2)/2} \cos\left(\frac{(n+2)\pi}{4}\right), obțineți an+2=2ana_{n+2} = 2a_n verificând cu valorile inițiale a1=1a_1 = 1, a2=0a_2 = 0.
33 puncte
Termenul general este an=2n/2cos⁡(nπ4)a_n = 2^{n/2} \cos\left(\frac{n\pi}{4}\right). Limita: lim⁡n→∞an2n=lim⁡n→∞cos⁡(nπ4)\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \cos\left(\frac{n\pi}{4}\right) nu există deoarece cos⁡(nπ4)\cos\left(\frac{n\pi}{4}\right) oscilează între -1 și 1; discutați subșirurile convergente, cum ar fi cele pentru n=4kn = 4k.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.