MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeEcuații iraționaleStudiul funcțiilor
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru n≥1n \geq 1. Demonstrați că șirul este monoton crescător și mărginit superior de 2. Apoi, folosind convergența, calculați limita șirului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Prin inducție, arătăm că an≤2a_n \leq 2 pentru orice nn: pentru n=1n=1, a1=1≤2a_1=1 \leq 2; presupunem an≤2a_n \leq 2, atunci an+1=2+an≤2+2=2a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} \leq \sqrt{2 + 2} = 2. Pentru monotonie, considerăm an+1−an=2+an−ana_{n+1} - a_n = \sqrt{2 + a_n} - a_n; funcția f(x)=2+x−xf(x) = \sqrt{2+x} - x pe [1,2][1,2] are f′(x)=122+x−1≤0f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2+x}} - 1 \leq 0, deci ff descrescătoare și f(2)=0f(2)=0, așadar f(x)≥0f(x) \geq 0, deci an+1≥ana_{n+1} \geq a_n.
23 puncte
Șirul este crescător și mărginit, deci convergent. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n.
33 puncte
Din an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}, trecând la limită, obținem L=2+LL = \sqrt{2 + L}, adică L2=2+LL^2 = 2 + L, deci L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0. Soluțiile sunt L=2L = 2 și L=−1L = -1. Cum an≥1a_n \geq 1, limita este L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.