MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (xn)(x_n) definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru n≥1n \geq 1. Arătați că (xn)(x_n) este monoton crescător și mărginit superior, apoi determinați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Demonstrați prin inducție că șirul este crescător. Se verifică x2=3>1=x1x_2 = \sqrt{3} > 1 = x_1. Presupunând xn>xn−1x_n > x_{n-1}, atunci xn+1=2+xn>2+xn−1=xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} > \sqrt{2 + x_{n-1}} = x_n, deci șirul este crescător.
23 puncte
Demonstrați că șirul este mărginit superior de 2. Prin inducție: x1=1<2x_1 = 1 < 2. Presupunând xn<2x_n < 2, atunci xn+1=2+xn<2+2=2x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} < \sqrt{2 + 2} = 2, deci șirul este mărginit.
34 puncte
Deoarece șirul este crescător și mărginit, el este convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Atunci L=2+LL = \sqrt{2 + L}, deci L2=2+L⇒L2−L−2=0⇒L=2L^2 = 2 + L \Rightarrow L^2 - L - 2 = 0 \Rightarrow L = 2 sau L=−1L = -1. Cum termenii sunt pozitivi, L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.