MediuȘiruri de numere realeClasa 12

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Fie șirul (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} definit prin bn=∫01xnex dxb_n = \int_0^1 x^n e^x \, dx. Demonstrați că șirul (bn)(b_n) este descrescător și calculați lim⁡n→∞bn\lim_{n \to \infty} b_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru orice n≥1n \geq 1, se calculează diferența bn−bn+1=∫01xnex dx−∫01xn+1ex dx=∫01xnex(1−x) dxb_n - b_{n+1} = \int_0^1 x^n e^x \, dx - \int_0^1 x^{n+1} e^x \, dx = \int_0^1 x^n e^x (1-x) \, dx. Deoarece xnex(1−x)≥0x^n e^x (1-x) \geq 0 pentru x∈[0,1]x \in [0,1], integrala este nenegativă, deci bn≥bn+1b_n \geq b_{n+1}, adică șirul este descrescător.
24 puncte
Se majorează bnb_n: observând că ex≤ee^x \leq e pe [0,1][0,1], avem 0≤bn≤∫01xne dx=e∫01xn dx=en+10 \leq b_n \leq \int_0^1 x^n e \, dx = e \int_0^1 x^n \, dx = \frac{e}{n+1}. Cum lim⁡n→∞en+1=0\lim_{n \to \infty} \frac{e}{n+1} = 0, prin teorema cleștelui, rezultă lim⁡n→∞bn=0\lim_{n \to \infty} b_n = 0.
32 puncte
Concluzie: șirul este descrescător (demonstrat la pasul 1) și converge la 0 (calculat la pasul 2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.