MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin an=ln⁡(n+1)−ln⁡nna_n = \frac{\ln(n+1) - \ln n}{\sqrt{n}}. Studiați convergența acestui șir și determinați limita sa, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Simplificăm termenul general folosind proprietăți logaritmice: an=ln⁡(1+1n)na_n = \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{\sqrt{n}}.
23 puncte
Aplicăm aproximarea ln⁡(1+x)∼x\ln(1 + x) \sim x pentru x→0x \to 0, deci pentru nn mare, ln⁡(1+1n)≈1n\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \approx \frac{1}{n}, și an≈1nn=n−3/2a_n \approx \frac{1}{n\sqrt{n}} = n^{-3/2}.
32 puncte
Folosind comparația, deoarece lim⁡n→∞n−3/2=0\lim_{n \to \infty} n^{-3/2} = 0 și 0≤an≤C⋅n−3/20 \leq a_n \leq C \cdot n^{-3/2} pentru o constantă C>0C > 0 și nn suficient de mare, rezultă că lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0.
41 punct
Enunțăm limita: lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.