MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeMatematică aplicată
Considerăm șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit de x1=1x_1 = 1 și xn+1=12(xn+5xn)x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{5}{x_n} \right) pentru n≥1n \geq 1. Acest șir se folosește pentru aproximarea numerică a lui 5\sqrt{5}. Demonstrați că șirul converge și găsiți limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se demonstrează prin inducție că xn>0x_n > 0 pentru toți n≥1n \geq 1. x1=1>0x_1 = 1 > 0. Dacă xn>0x_n > 0, atunci xn+1=12(xn+5xn)>0x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{5}{x_n} \right) > 0 deoarece ambii termeni sunt pozitivi.\n
23 puncte
Se arată că pentru n≥2n \geq 2, xn≥5x_n \geq \sqrt{5} folosind inegalitatea mediilor: xn+1≥xn⋅5xn=5x_{n+1} \geq \sqrt{x_n \cdot \frac{5}{x_n}} = \sqrt{5}. Apoi, se compară xn+1x_{n+1} cu xnx_n: xn+1−xn=12(5xn−xn)≤0x_{n+1} - x_n = \frac{1}{2} \left( \frac{5}{x_n} - x_n \right) \leq 0 pentru xn≥5x_n \geq \sqrt{5}, deci șirul este descrescător începând cu n=2n=2.\n
32 puncte
Șirul este descrescător și mărginit inferior de 5\sqrt{5}, deci convergent.\n
42 puncte
Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Trecând la limită, L=12(L+5L)L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{5}{L} \right). Rezolvând, 2L=L+5L⇒L2=5⇒L=52L = L + \frac{5}{L} \Rightarrow L^2 = 5 \Rightarrow L = \sqrt{5} (deoarece xn>0x_n > 0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.