MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceEcuații exponentiale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin an=3n+k⋅2na_n = 3^n + k \cdot 2^n, unde kk este un număr real. Determinați kk astfel încât șirul să fie o progresie geometrică. Apoi, pentru acest kk, calculați suma primilor nn termeni ai șirului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția ca șirul să fie progresie geometrică este an+1an=r\frac{a_{n+1}}{a_n} = r constant pentru orice n≥1n \geq 1. Calculăm an+1an=3n+1+k⋅2n+13n+k⋅2n=3⋅3n+2k⋅2n3n+k⋅2n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} + k \cdot 2^{n+1}}{3^n + k \cdot 2^n} = \frac{3 \cdot 3^n + 2k \cdot 2^n}{3^n + k \cdot 2^n}. Pentru ca acest raport să fie constant, coeficienții lui 3n3^n și 2n2^n la numărător și numitor trebuie să fie proporționali, adică 31=2kk\frac{3}{1} = \frac{2k}{k}, deci 3k=2k3k = 2k, ceea ce implică k=0k=0. Verificăm: pentru k=0k=0, an=3na_n = 3^n, care este progresie geometrică cu raportul 33. Apoi, rezolvăm ecuația 3k=2k3k = 2k pentru a găsi k=0k=0.
23 puncte
Rezolvăm ecuația 3k=2k3k = 2k, care se reduce la k=0k=0. Aceasta este o ecuație liniară simplă, dar contextul implică puteri (exponențiale) în definiția șirului.
34 puncte
Pentru k=0k=0, șirul devine an=3na_n = 3^n, care este o progresie geometrică cu raportul 33 și primul termen a1=3a_1=3. Suma primilor nn termeni este Sn=a1⋅3n−13−1=3⋅3n−12S_n = a_1 \cdot \frac{3^n - 1}{3-1} = 3 \cdot \frac{3^n - 1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.