MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeStudiul funcțiilorIdentități algebrice
Fie șirul (an)n≥0(a_n)_{n \geq 0} definit prin a0=1a_0 = 1 și an+1=an2+1ana_{n+1} = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{a_n} pentru orice n≥0n \geq 0. Studiați convergența acestui șir și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Arătați că pentru orice n≥0n \geq 0, an≥2a_n \geq \sqrt{2}, folosind inegalitatea x2+1x≥2\frac{x}{2} + \frac{1}{x} \geq \sqrt{2} pentru x>0x > 0, care rezultă din (x−2/x)2≥0(\sqrt{x} - \sqrt{2/x})^2 \geq 0.
23 puncte
Demonstrați că șirul este descrescător pentru n≥1n \geq 1 prin compararea an+1a_{n+1} cu ana_n: an+1−an=an2+1an−an=1an−an2=2−an22ana_{n+1} - a_n = \frac{a_n}{2} + \frac{1}{a_n} - a_n = \frac{1}{a_n} - \frac{a_n}{2} = \frac{2 - a_n^2}{2a_n}. Deoarece an≥2a_n \geq \sqrt{2}, an2≥2a_n^2 \geq 2, deci an+1−an≤0a_{n+1} - a_n \leq 0.
32 puncte
Deduceți că șirul este convergent deoarece este mărginit inferior și descrescător.
42 puncte
Notați L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Trecând la limită în relația de recurență, obținem L=L2+1LL = \frac{L}{2} + \frac{1}{L}. Rezolvând, L−L2=1LL - \frac{L}{2} = \frac{1}{L}, deci L2=1L\frac{L}{2} = \frac{1}{L}, adică L2=2L^2 = 2. Cum an≥2a_n \geq \sqrt{2}, limita este L=2L = \sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.