MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+3na_{n+1} = 2a_n + 3^n pentru orice n≥1n \ge 1. Determinați o formulă explicită pentru ana_n și calculați lim⁡n→∞an3n\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se rezolvă recurența. Presupunem că an=C⋅2n+A⋅3na_n = C \cdot 2^n + A \cdot 3^n. Din an+1=2an+3na_{n+1} = 2a_n + 3^n, obținem A⋅3n+1=2A⋅3n+3n⇒3A=2A+1⇒A=1A \cdot 3^{n+1} = 2A \cdot 3^n + 3^n \Rightarrow 3A = 2A + 1 \Rightarrow A=1. Din a1=1a_1=1, 1=2C+3⇒C=−11 = 2C + 3 \Rightarrow C = -1. Deci an=−2n+3na_n = -2^n + 3^n.\n
23 puncte
Se verifică formula: a1=−2+3=1a_1 = -2 + 3 =1, și an+1=−2n+1+3n+1=2(−2n+3n)+3n=2an+3na_{n+1} = -2^{n+1} + 3^{n+1} = 2(-2^n + 3^n) + 3^n = 2a_n + 3^n, corect.\n
33 puncte
Se calculează limita: lim⁡n→∞an3n=lim⁡n→∞−2n+3n3n=lim⁡n→∞(−(23)n+1)=1\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{-2^n + 3^n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \left( -\left(\frac{2}{3}\right)^n + 1 \right) = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.