MediuȘiruri de numere realeClasa 12

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin xn=∫01tnsin⁡(πt) dtx_n = \int_0^1 t^n \sin(\pi t) \, dt. Demonstrați că șirul este convergent și calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Se observă că ∣xn∣≤∫01tn dt=1n+1|x_n| \leq \int_0^1 t^n \, dt = \frac{1}{n+1}, deci ∣xn∣≤1n+1|x_n| \leq \frac{1}{n+1}.\n
23 puncte
Se arată că xn+1≤xnx_{n+1} \leq x_n pentru orice n≥1n \geq 1, deci șirul este descrescător.\n
32 puncte
Din 0≤xn≤1n+10 \leq x_n \leq \frac{1}{n+1} și lim⁡n→∞1n+1=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0, folosind teorema cleștelui, lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \to \infty} x_n = 0.\n
41 punct
Concluzia că șirul este convergent cu limita 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.