MediuȘiruri de numere realeClasa 12

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Fie șirul (In)n≥0(I_n)_{n \ge 0} definit prin In=∫01xnexdxI_n = \int_0^1 x^n e^x dx pentru n≥0n \ge 0. a) Calculați I0I_0 și I1I_1. b) Demonstrați că pentru orice n≥0n \ge 0, are loc relația In+1=e−(n+1)InI_{n+1} = e - (n+1) I_n. c) Studiați convergența șirului (In)(I_n) și calculați lim⁡n→∞In\lim_{n \to \infty} I_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Calculăm I0=∫01exdx=e−1I_0 = \int_0^1 e^x dx = e - 1. Pentru I1I_1, folosim integrarea prin părți: I1=∫01xexdx=[xex]01−∫01exdx=e−(e−1)=1I_1 = \int_0^1 x e^x dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = 1.
24 puncte
Pentru a demonstra relația de recurență, integrăm prin părți: In+1=∫01xn+1exdxI_{n+1} = \int_0^1 x^{n+1} e^x dx. Alegem u=xn+1u = x^{n+1}, dv=exdxdv = e^x dx, atunci du=(n+1)xndxdu = (n+1)x^n dx, v=exv = e^x. Atunci In+1=[xn+1ex]01−∫01(n+1)xnexdx=e−(n+1)∫01xnexdx=e−(n+1)InI_{n+1} = [x^{n+1} e^x]_0^1 - \int_0^1 (n+1)x^n e^x dx = e - (n+1) \int_0^1 x^n e^x dx = e - (n+1) I_n.
34 puncte
Din relația de recurență, avem In=e−In+1n+1I_n = \frac{e - I_{n+1}}{n+1}. Cum In≥0I_n \ge 0 și In+1≥0I_{n+1} \ge 0 (integrala unei funcții nenegative), rezultă 0≤In≤en+10 \le I_n \le \frac{e}{n+1}. Aplicând teorema cleștelui, obținem lim⁡n→∞In=0\lim_{n \to \infty} I_n = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.