MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeGeometrie AnaliticăProgresii Geometrice
Fie șirul de puncte An(xn,yn)A_n(x_n, y_n) în planul cartezian, unde xn=3nx_n = 3^n și yn=(12)ny_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n pentru n≥0n \geq 0. Calculați distanța dn=OAnd_n = OA_n și studiați natura șirului (dn)n≥0(d_n)_{n \geq 0} (monotonie, mărginire, convergență).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
dn=xn2+yn2=(3n)2+((12)n)2=9n+4−nd_n = \sqrt{x_n^2 + y_n^2} = \sqrt{(3^n)^2 + \left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)^2} = \sqrt{9^n + 4^{-n}}.
24 puncte
Studiem monotonie: pentru orice n≥0n \geq 0, dn+12−dn2=9n+1+4−n−1−9n−4−n=9n(9−1)+4−n(14−1)=8⋅9n−34⋅4−nd_{n+1}^2 - d_n^2 = 9^{n+1} + 4^{-n-1} - 9^n - 4^{-n} = 9^n(9-1) + 4^{-n}\left(\frac{1}{4} - 1\right) = 8 \cdot 9^n - \frac{3}{4} \cdot 4^{-n}. Deoarece 8⋅9n>34⋅4−n8 \cdot 9^n > \frac{3}{4} \cdot 4^{-n} pentru n≥0n \geq 0, diferența este pozitivă, deci dn+1>dnd_{n+1} > d_n, adică șirul este strict crescător.
33 puncte
Mărginire: șirul nu este mărginit superior deoarece 9n→∞9^n \to \infty, deci dn→∞d_n \to \infty. Convergență: limita este infinit, deci șirul este divergent.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.