MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} un șir aritmetic de numere reale. Dacă a1+a3+a5=15a_1 + a_3 + a_5 = 15 și a2⋅a4=24a_2 \cdot a_4 = 24, să se afle rația șirului și termenul a7a_7.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Exprimăm termenii în funcție de a1a_1 și rația rr: a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a5=a1+4ra_5 = a_1 + 4r, a2=a1+ra_2 = a_1 + r, a4=a1+3ra_4 = a_1 + 3r.
24 puncte
Formăm sistemul: a1+(a1+2r)+(a1+4r)=15a_1 + (a_1 + 2r) + (a_1 + 4r) = 15 și (a1+r)(a1+3r)=24(a_1 + r)(a_1 + 3r) = 24. Simplificăm: 3a1+6r=153a_1 + 6r = 15 și a12+4a1r+3r2=24a_1^2 + 4a_1 r + 3r^2 = 24. Din prima ecuație, a1=5−2ra_1 = 5 - 2r. Înlocuim în a doua: (5−2r)2+4(5−2r)r+3r2=24(5 - 2r)^2 + 4(5 - 2r)r + 3r^2 = 24. Rezolvăm: 25−20r+4r2+20r−8r2+3r2=2425 - 20r + 4r^2 + 20r - 8r^2 + 3r^2 = 24, deci −r2+25=24-r^2 + 25 = 24, adică r2=1r^2 = 1, deci r=±1r = \pm 1. Pentru r=1r = 1, a1=3a_1 = 3; pentru r=−1r = -1, a1=7a_1 = 7.
32 puncte
Pentru r=1r = 1, a7=a1+6r=3+6=9a_7 = a_1 + 6r = 3 + 6 = 9; pentru r=−1r = -1, a7=7+6(−1)=1a_7 = 7 + 6(-1) = 1. Deci soluțiile sunt: rația 11 și a7=9a_7 = 9 sau rația −1-1 și a7=1a_7 = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.