MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie șirul (zn)n≥1(z_n)_{n \geq 1} definit prin zn=(1+i)n+(1−i)n2nz_n = \frac{(1+i)^n + (1-i)^n}{2^n}. Demonstrați că znz_n este un șir de numere reale și calculați limita sa când n→∞n \to \infty.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că (1−i)(1-i) este conjugatul lui (1+i)(1+i), deci (1−i)n=(1+i)n‾(1-i)^n = \overline{(1+i)^n}. Atunci zn=(1+i)n+(1+i)n‾2n=2Re⁡((1+i)n)2nz_n = \frac{(1+i)^n + \overline{(1+i)^n}}{2^n} = \frac{2 \operatorname{Re}((1+i)^n)}{2^n}, care este real pentru orice nn.
24 puncte
Scrieți 1+i1+i în formă trigonometrică: 1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4)1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right). Atunci (1+i)n=2n/2(cos⁡nπ4+isin⁡nπ4)(1+i)^n = 2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} \right) și (1−i)n=2n/2(cos⁡nπ4−isin⁡nπ4)(1-i)^n = 2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} - i \sin \frac{n\pi}{4} \right). Înlocuind, zn=2n/2(cos⁡nπ4+isin⁡nπ4)+2n/2(cos⁡nπ4−isin⁡nπ4)2n=2⋅2n/2cos⁡nπ42n=21−n/2cos⁡nπ4z_n = \frac{2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4} \right) + 2^{n/2} \left( \cos \frac{n\pi}{4} - i \sin \frac{n\pi}{4} \right)}{2^n} = \frac{2 \cdot 2^{n/2} \cos \frac{n\pi}{4}}{2^n} = 2^{1 - n/2} \cos \frac{n\pi}{4}.
33 puncte
Calculați limita: lim⁡n→∞zn=lim⁡n→∞21−n/2cos⁡nπ4\lim_{n \to \infty} z_n = \lim_{n \to \infty} 2^{1 - n/2} \cos \frac{n\pi}{4}. Deoarece ∣cos⁡nπ4∣≤1| \cos \frac{n\pi}{4} | \leq 1 și lim⁡n→∞21−n/2=0\lim_{n \to \infty} 2^{1 - n/2} = 0, folosind teorema cleștelui, limita este 00.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.